Dies ist der gefühlt milliardste Versuch, einen Rechner zu programmieren, der möglichst zuverlässig die Entfernung zwischen zwei geografischen Punkten berechnet.
Bitte erst Punkte eingeben und auf Berechnen drücken, damit die Kartenausschnitte angezeigt werden können!
In der Gegend von Österreich kann man davon ausgehen, dass der Abstand zwischen zwei Nord-Süd-Längengraden ost_west_abstand ca. 47.626 km beträgt. Genauso kann man davon ausgehen, dass der Abstand zwischen zwei West-Ost-Breitengraden nord_sued_abstand ca. 111.199 km beträgt.
Wir multiplizieren daher den Betrag der Differenz der Ostwerte (0 und 0) mit dem ost_west_abstand (47.626). Genau das gleiche machen wir mit dem Betrag der Differenz der Nordwerte (0 und 0), nur diesmal eben mit dem nord_sued_abstand (111.199).
diff_ost = 0 [km]
diff_nord = 0 [km]
Dann noch den Pythagoras von diesen beiden Werten diff_ost (0), diff_nord (0) ausrechnen und fertig ist die Entfernung.
entfernung1 = 0 [km]
Ergebnis: 0 km.
Grob vereinfacht kann man sagen, dass die Erde eine Kugel ist. Diesen Umstand kann man nutzen, um eine Entfernung versuchen zu berechnen.
Jeder Punkt auf der Erdoberfläche ist mit Kugelkoordinaten genau bestimmt (z.B. 48° N und 13° O) und auch der Erdradius ist ungefähr bekannt (6371 km).
Wir nehmen nun den ersten Punkt her (0° N, 0° O), und legen durch diesen sowohl eine Ebene parallel zum Äquator sowie zum Nullmeridian (durch Greenwich).
Das geht, in dem man den Kosinus von dem Nordwert (0°) nimmt, und diesen Wert mit dem Erdradius 6371 multipliziert. So ergibt sich der Radius der Ebene, die parallel zum Äquator liegt.
Das gleiche machen wir mit dem Ostwert (0°). Der Kosinus davon multipliziert mit dem Erdradius ergibt den Radius der Ebene, die parallel zum Nullmeridian durch Greenwich liegt.
radius_nordwert = 6371 [km]
radius_ostwert = 6371 [km]
Die Radien sind somit definiert. Nun benötigen wir noch den Winkel auf den entsprechenden Radien.
Dazu ziehen wird vom Nordwert des ersten Punktes (0°) den Nordwert des zweiten Punktes (0°) ab und bilden den Betrag daraus.
Das gleiche noch mit den Ostwerten: Vom Ostwert des ersten Punktes (0°) den Ostwert des zweiten Punktes (0°) abziehen und den Betrag bilden.
winkel_nordwert = 0 [°]
winkel_ostwert = 0 [°]
Der Nordwertwinkel (0 °) gibt somit eine Entfernung in Nord-Süd-Richtung an. Der Ostwertwinkel (0 °) in West-Ost-Richtung.
Die Länge eines Kreisbogens berechnet sich wie folgt: (2 [] * Radius [km] * π [] * Winkel [°]) / 360 [°]
Umgelegt auf die Erdkugel bedeutet dass: Die Entfernung in Nord-Süd-Richtung in Kilometer ergibt sich, wenn wir den Nordwertwinkel (0 °) mit 2 und Pi und dem Ostwertradius (6371 km) multiplizieren, und das ganze dann durch 360° teilen. (Wir multiplizieren den Nordwertwinkel mit dem Ostwertradius, da ja die Nord-Süd Differenz nur für einen Kreis parallel zur Nullmeridianebene gültig ist, und das ist der Ostwertradius)
Das gleiche mit den restlichen Variabeln. Ostwertwinkel (0 °) mal 2 mal Pi mal Nordwertradius (0 km) und das ganze dividiert durch 360°.
diffNordwert = 0 [km]
diffOstwert = 0 [km]
Jetzt noch aus diesen zwei Werten den Pythagoras bilden (die Länge der beiden Katheten diffNordwert (0 km) zum Quadrat und diffOstwert (0 km) zum Quadrat ergibt das Quadrat der Hypotenuse, der gesuchten Streckenlänge) und die Länge ist berechnet.
entfernung2 = 0 [km]
Ergebnis: 0 km.
Den meisten Personen ist die sphärische Geometrie als Teilbereich der Mathematik unbekannt. Auch mir. Dennoch hilft sie bei der Berechnung von Entfernungen auf der Erdkugel immens.
Zuvor noch ein paar Definitionen: nordwert1 = 0; nordwert2 = 0; ostwert1 = 0; ostwert2 = 0
Zur Berechnung eines Winkels wird der sphärische Seitenkosinussatz verwendet. Da ich selber nicht durchblicke, wie er funktioniert, schreibe ich ihn einfach nur hin:
winkel = Arkuskosinus ( Sinus ( nordwert1 ) * Sinus ( nordwert2 ) + Kosinus ( nordwert1 ) * Kosinus ( nordwert2 ) * Kosinus ( ostwert2 - ostwert1 ) )
Mit eingesetzten Werten:
winkel = Arkuskosinus ( Sinus ( 0 ) * Sinus ( 0 ) + Kosinus ( 0 ) * Kosinus ( 0 ) * Kosinus ( 0 - 0 ) )
winkel = Arkuskosinus ( 0 * 0 + 1 * 1 * Kosinus ( 0 ) )
winkel = Arkuskosinus ( 0 * 0 + 1 * 1 * 1 )
winkel = Arkuskosinus ( 0 + 1 )
winkel = Arkuskosinus ( 1 )
winkel = 0 [°]
Jetzt wissen wir den Winkel (0 °). Da auch der Radius der Erde annähernd bekannt ist (6371 km), können wir mit dem Winkel und dem Radius die Entfernung entlang des Kreisbogens ausrechnen: 2 mal Erdradius (6371 km) mal Pi mal dem Winkel (0 °), und das ganze dann dividiert durch 360°.
entfernung3 = 0 [km]
Ergebnis: 0 km.